随机事件的独立性

接住上一课

乘法公式总能在条件概率有定义时使用；独立性则表示获知一个事件不改变另一个事件概率，从而把交概率化成边缘概率乘积。

教师带你完成主模型

若P(A)=0.3、P(B)=0.4且A、B独立，则P(A∩B)=0.3×0.4=0.12。此时P(A|B)=P(A)，但定义独立时优先用乘积式，能涵盖零概率事件。

公式卡（可直接提取）

公式： A与B独立 ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)。若P(B)>0，还等价于P(A|B)=P(A)。n个事件相互独立要求任意非空子组的交概率均等于对应概率乘积；仅两两独立不保证相互独立。

第二次当场检查

独立性会传递给补事件：A与B独立时，A^c与B、A与B^c、A^c与B^c也独立。互斥与独立不同；两个正概率互斥事件不独立。

我会追问的易错点

两两独立冒充相互独立、互斥冒充独立、只凭题意‘看起来无关’不验乘积式，是三类错误。

迁移到下一题

构造两个独立事件并验证四种补事件组合；再举出两个正概率互斥事件说明乘积式失败。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。