群作用：把抽象元素变成对象上的可组合动作

本课要解决的问题

一个群如何系统地作用在点、图形、颜色或解集上，而不丢失乘法结构？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

群 G 在集合 X 上的左作用是映射 G×X→X，记 g·x，满足 e·x=x 与 (gh)·x=g·(h·x)。每个 g 都给出 X 上的双射，因而作用等价于一个同态 G→Sym(X)。忠实作用还要求只有单位元对所有点都不动。

推导主线

由 g⁻¹·(g·x)=(g⁻¹g)·x=x，可知每个动作 x↦g·x 的逆映射是 x↦g⁻¹·x，所以必为置换。复合规则直接给 ρ(gh)=ρ(g)ρ(h)，这把抽象群翻译为具体置换群。

完整例题

D₄ 作用在正方形四个顶点上。任取一个顶点，旋转可把它送到任意其他顶点，因此它的可达集合有4个点。作用忠实，因为没有非单位对称能固定全部四个标号顶点。

严格边界

随便指定若干变换不一定构成作用；必须核验单位元与复合相容。忠实不等于传递：忠实说明动作能区分群元素，传递说明任意两点之间可由某个群元素连接。

课后闭环

分别写出 Z 对整数平移、D₄ 对顶点、Sₙ 对 n 个位置的作用；检查两条公理，并判断是否忠实、是否传递。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。