Burnside 计数：先数每个对称固定什么

本课要解决的问题

把旋转后相同的染色视为一种时，如何避免逐个比较所有方案？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

有限群 G 作用在有限集合 X 上时，轨道数等于平均固定点数：|X/G|=(1/|G|)Σ_{g∈G}|Fix(g)|。每个轨道对总固定点计数贡献恰好 |G|，这是轨道—稳定子定理的整体版本。

推导主线

双重计数集合 P={(g,x):g·x=x}。按 g 计数得 Σ|Fix(g)|；按 x 计数，每个 x 被 |G_x| 个元素固定，同一轨道求和为 |Orb(x)||G_x|=|G|。有多少轨道就贡献多少个 |G|。

完整例题

用两色染四颗圆环珠，只把旋转视为相同。C₄ 四个旋转的固定染色数依次为16、2、4、2，总和24，除以4得到6种旋转不等价染色。

严格边界

必须明确允许的对称群：若反射也视为相同，应使用二面体群而非循环群。固定点是被某个具体群元素完整保持的方案，不是看起来相似。

课后闭环

分别用 C₄ 与 D₄ 计算两色四珠项链数，逐个列出旋转和反射的循环结构及固定染色数，比较模型边界。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。