轨道—稳定子定理：可达状态与内部对称的乘积

本课要解决的问题

群的大小如何在‘把对象移到哪里’与‘原地不动的动作’之间分配？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

有限群作用下，|G·x|=[G:G_x]，因此 |G|=|Orb(x)|·|G_x|。轨道大小衡量外部可达位置，稳定子大小衡量每个位置内部保留的对称，两者乘积恢复全部群元素。

推导主线

定义 G/G_x 的左陪集到轨道的映射 gG_x↦g·x。若 gG_x=hG_x，则 h⁻¹g∈G_x，所以 g·x=h·x；反之相同像也推出同陪集。映射既良定义又双射，轨道与稳定子陪集一一对应。

完整例题

若 |G|=24，某点稳定子阶为6，则轨道大小为24/6=4。无需逐个列出24个动作就能知道只有4个不同像；反过来知道轨道与群阶也能求稳定子。

严格边界

公式使用的是作用下的稳定子，而非任意子群。无限情形仍有陪集—轨道双射，但不能总用普通整数乘法处理基数。

课后闭环

用 D₄ 的顶点、边和对角线作用分别验证定理；对每类对象写出轨道大小、稳定子阶和乘积。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。