轨道：哪些对象能通过对称动作互相到达

本课要解决的问题

在同一作用下，如何把对象按‘能够互相变到’进行完整分类？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

点 x 的轨道 Orb(x)=G·x={g·x:g∈G}。定义 x~y 当存在 g 使 y=g·x，这是等价关系：单位元给自反，逆元给对称，群乘法给传递。因此所有轨道互不相交并覆盖 X。只有一个轨道的作用称为传递作用。

推导主线

若 Orb(x) 与 Orb(y) 相交，取 z=g·x=h·y，则 y=h⁻¹g·x，所以 y∈Orb(x)，进而两个轨道相同。否则完全不交。这与陪集分划相似，但现在分的是被作用集合 X，而非群 G 本身。

完整例题

整数加法群 Z 作用在整数集合上，规则 n·x=x+2n。偶数彼此可达，奇数彼此可达，但奇偶之间不可达，所以恰有两个轨道。

严格边界

轨道取决于具体作用，不只取决于 G 与 X。相同群换一种作用可能产生完全不同的轨道数；轨道通常是集合，不自动具有子群结构。

课后闭环

让 D₄ 作用在正方形的顶点、边、两条对角线和全部顶点对上，分别求轨道并解释不同轨道代表的几何类型。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。