稳定子：哪些对称让指定对象保持不变

本课要解决的问题

固定一个对象后，仍然可用的群元素为何自身构成子群？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

点 x 的稳定子 G_x={g∈G:g·x=x}。它包含单位元；若 g,h 固定 x，则 gh⁻¹·x=g·(h⁻¹·x)=g·x=x，所以由一步判定 G_x≤G。稳定子描述对象内部剩余的对称。

推导主线

若 y=k·x，则 G_y=kG_xk⁻¹：g 固定 y 等价于 gk·x=k·x，等价于 k⁻¹gk 固定 x。同一轨道上的稳定子彼此共轭，因此有限时大小相同，但作为子集未必完全相等。

完整例题

D₄ 作用在四个顶点上。固定某一顶点的对称只有恒等与穿过该顶点及对顶点的对角线反射，所以稳定子有2个元素。换另一个顶点得到共轭的另一个2阶稳定子。

严格边界

稳定子不是所有‘看起来变化不大’的动作，而是严格满足 g·x=x。固定一个点与逐点固定整个子集不同，也与只把子集整体映回自身不同。

课后闭环

求 D₄ 作用在一条边、一条对角线和一个顶点时的稳定子；区分逐点稳定与集合稳定，并比较它们的阶。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。