第三同构定理：分两次压缩等于一次压缩

本课要解决的问题

若 N 包含在 H 中，先商掉 N 再商掉 H/N，与直接商掉 H 有何关系？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

若 N◁G、H◁G 且 N≤H，则 H/N◁G/N，并有 (G/N)/(H/N)≅G/H。它说明分层压缩具有一致性，是多尺度建模与逐步降维的代数依据。

推导主线

定义 ψ:G/N→G/H, ψ(gN)=gH。因 N≤H，更换 gN 的代表元只会乘入 N 中元素，也属于 H，所以良定义。ψ 满射，核为所有 gN 满足 g∈H 的陪集，即 H/N；第一同构定理给出结论。

完整例题

在 Z₂₄ 中取 N=⟨12⟩={0,12}、H=⟨6⟩={0,6,12,18}。G/N 阶12，H/N 阶2，所以再次取商后阶6；直接 Z₂₄/H 的阶也为24/4=6。

严格边界

必须有 N≤H 且二者满足相应正规条件，否则 H/N 甚至不是 G/N 的子群。相同阶只做数值校验，不能代替同构映射与良定义证明。

课后闭环

在 Z₃₆ 中选择 N=⟨18⟩、H=⟨6⟩，分别完成两步商与一步商，写出自然映射并核对每层阶。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。