第一同构定理：商掉全部损失后正好得到像

本课要解决的问题

一个同态压缩了定义域后，剩下的结构为何恰好等于它的像？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

第一同构定理断言 G/kerφ≅imφ。核把所有具有相同像的元素归入同一陪集；定义映射 Φ(g kerφ)=φ(g)，它把商群陪集送到对应像元素。

推导主线

良定义：若 gkerφ=g'kerφ，则 g⁻¹g'∈kerφ，所以 φ(g)=φ(g')。Φ 是同态且满射到 imφ；若 Φ(gkerφ)=e，则 g∈kerφ，故 gkerφ 是单位陪集，所以 Φ 单射。于是得到同构。

完整例题

自然同态 φ:Z→Z₈, φ(k)=[k] 的核为8Z、像为整个 Z₈。因此 Z/8Z≅Z₈。商群把相差8的整数归为一类，正好留下8个剩余类。

严格边界

结论是 G/kerφ 与 imφ 同构，不一定与整个值域 K 同构；只有 φ 满射时 imφ=K。构造同构时不能省略良定义检查。

课后闭环

对 φ:Z→Z₁₂, φ(k)=[4k] 求核与像，并用第一同构定理识别商群；核对两边元素个数和生成元。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。