第二同构定理：子群与正规子群如何拼接

本课要解决的问题

子群 H 与正规子群 N 相乘后，新增的结构怎样由 H 内部的交刻画？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

若 H≤G、N◁G，则 HN={hn:h∈H,n∈N} 是 G 的子群，H∩N◁H，并有 H/(H∩N)≅HN/N。左边在 H 内压掉与 N 重叠的部分，右边观察 H 加入 N 后相对于 N 新贡献的陪集。

推导主线

定义 φ:H→HN/N, φ(h)=hN。它是同态；像覆盖 HN/N，因为 hnN=hN；核由 hN=N 给出，正是 H∩N。第一同构定理立即得到 H/(H∩N)≅HN/N。

完整例题

在 S₃ 中取 N=A₃、H=⟨(12)⟩。N 正规，H∩N={e}，且 HN=S₃。因此 H/{e}≅S₃/A₃，两边都有2个元素，都记录换位奇偶类别。

严格边界

HN 是子群的结论需要至少一方正规；两个任意子群的集合乘积未必封闭。商 H/(H∩N) 中正规性是在 H 内判断。

课后闭环

在交换群 Z₁₂ 中选两个子群 H、N，计算交、和与对应两个商群；写出具体同构而不只比较阶。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。