同态：什么叫真正保留群运算

本课要解决的问题

把一个群映到另一个群时，怎样保证计算可以先映射后运算？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

群同态 φ:G→K 满足 φ(ab)=φ(a)φ(b)。这一条相容性会自动推出 φ(e_G)=e_K、φ(a⁻¹)=φ(a)⁻¹ 和 φ(aⁿ)=φ(a)ⁿ。它保留的是运算结构，不要求元素名称、数量或具体表示相同。

推导主线

由 φ(e)=φ(ee)=φ(e)φ(e)，两边乘 φ(e)⁻¹ 得 φ(e)=e。又由 e=φ(e)=φ(aa⁻¹)=φ(a)φ(a⁻¹)，得 φ(a⁻¹)=φ(a)⁻¹。正负整数幂再由归纳与逆元性质得到。

完整例题

φ:Z→Z₆ 定义 φ(k)=[2k]。有 φ(m+n)=[2m+2n]=φ(m)+φ(n)，所以是加法群同态。像只有 [0],[2],[4] 三个元素，并不覆盖整个 Z₆。

严格边界

任意函数都不是同态；必须对任意两元素检查运算相容。定义域和值域的运算要写清，同一个公式在加法群和乘法群中可能结论不同。

课后闭环

判定 φ:Z→Z₈, φ(k)=[3k] 是否为同态并列出像；再找一个看似自然但不满足加法相容性的函数作为反例。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。