核与像：同态丢掉什么、保留什么

本课要解决的问题

一个同态把哪些差异压成单位元，又实际到达值域的哪一部分？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

核 kerφ={g∈G:φ(g)=e_K} 收集被压成单位元的元素；像 imφ={φ(g):g∈G} 是真正到达的元素。kerφ 是 G 的正规子群，imφ 是 K 的子群。核衡量信息损失，像描述保留下来的结构。

推导主线

若 a,b∈kerφ，则 φ(ab⁻¹)=φ(a)φ(b)⁻¹=e，所以核为子群。对任意 g∈G、h∈kerφ，有 φ(ghg⁻¹)=φ(g)eφ(g)⁻¹=e，因此 ghg⁻¹仍在核中，核正规。像对子群一步判定同样封闭。

完整例题

φ:Z→Z₆, φ(k)=[2k]。φ(k)=[0] 等价于6整除2k，也就是3整除k，所以 kerφ=3Z，最小正生成元是3；像为{[0],[2],[4]}。

严格边界

核不是函数取值为数值0的集合，除非值域是加法群且单位元写作0。像不必等于整个值域；只有满同态才满足 imφ=K。

课后闭环

对 φ:Z₁₂→Z₆, φ([x])=[x] 计算核、像，验证核正规；再说明它相比原群压缩了哪一类差异。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。