1巴什博弈
n 是 10、m 是 3，先手胜吗？
算法进阶 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2尼姆博弈
三堆分别 1、2、3，先手胜吗？
3博弈题的做法
为什么打表对博弈题特别有效？
4构造题的特点
构造题的关键是什么？
5构造：从小数据入手
为什么从小数据开始？
6构造：利用对称
把 1 到 2n 分成两组使和相等，怎么分？
7构造：奇偶性
什么时候先判奇偶性？
8不变量
这和奇偶性判定有关吗？
9数学练习一
先找不变量。
10数学练习二
先打表找规律。
第 1 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：异或结果为 0，先手必败。
参考答案（家长）：10 不是 4 的倍数，先手必胜。
参考答案（家长）：找到一种一定可行的固定模式，而不是搜索。
参考答案（家长）：博弈的规律往往很规整，小数据就能看出来。
参考答案（家长）：首尾配对，每对和相同，平分即可。
参考答案（家长）：小情况能手动验证，规律也更容易看出来。
参考答案（家长）：奇偶性常常就是那个不变量。
参考答案（家长）：涉及平分、配对、翻转的题。
参考答案（家长）：小数据打表往往能直接看出周期。
参考答案（家长）：不变量不同就一定不可达。
第 2 页 · 正面（题目）
11数学练习三
该用什么工具？
12学会推公式
用这个方法推出 1 到 n 的平方和公式。
13学会证明
用反证法说明"最小生成树里不会有环"。
14数学归纳法
用归纳法证明 1 到 n 的和等于 n 乘 n+1 除以 2。
15抽屉原理的应用
任取 51 个 1 到 100 的数，必有两个互质，为什么？
16复习：数论
给每样写一句适用场景。
17复习：组合计数
每样举一道代表题。
18复习：位运算与博弈
说出异或最有用的两条性质。
19综合模拟一
完整计时完成。
20复盘一
写下这次没想到的三条性质。
第 2 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：先算前几项，猜出三次多项式，代入验证。
参考答案（家长）：组合数取模，可能配合容斥。
参考答案（家长）：n=1 成立；假设 n=k 成立，加上 k+1 后化简正好符合公式。
参考答案（家长）：若有环，去掉环上最大的边仍连通且更小，矛盾。
参考答案（家长）：能说清用途，遇到题才能想起来。
参考答案（家长）：100 个数分成 50 组相邻对，取 51 个必有一组被取满，相邻数必互质。
参考答案（家长）：自反性（异或两次抵消）和交换结合律。
参考答案（家长）：有具体印象才用得上。
参考答案（家长）：这些性质就是下次的武器。
参考答案（家长）：记录哪类最慢。
第 3 页 · 正面（题目）
21建立性质清单
整理十条你觉得最有用的性质。
22思维题的特点
怎么练思维题？
23从特殊到一般
为什么特殊情况有帮助？
24正难则反
求"至少有一个"的数量，怎么用反面？
25转化问题
想一个"转化后就会做了"的例子。
26综合模拟二
卡住时翻清单。
27复盘二
更新你的性质清单。
28学习方法：主动回忆
合上资料复述一个算法。
29学习方法：间隔复习
给你最近学的算法排一个复习计划。
30学习方法：费曼技巧
用最简单的话讲清什么是动态规划。
第 3 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：多做、多想、看题解后独立重推一遍。
参考答案（家长）：如奇偶性、不变量、鸽巢、对称、极值。
参考答案（家长）：总数减去"一个都没有"的数量。
参考答案（家长）：特殊情况的解法常常能推广到一般。
参考答案（家长）：清单能把"没头绪"变成"逐个排查"。
参考答案（家长）：如把倒水问题转成图上的最短路。
参考答案（家长）：复述不出来说明还没记住。
参考答案（家长）：清单要越用越准，不断增删。
参考答案（家长）：能不用术语讲明白，才是真懂。
参考答案（家长）：三次间隔复习，比连着看三遍有效。