大数定律与中心极限

大数定律：次数多了，运气退场。掷 10 次硬币，出 7 次正面不奇怪；掷 10000 次，正面比例几乎一定贴着 50%。这就是大数定律：试验次数足够多时，频率逼近概率，样本平均逼近期望。它是整个保险、赌场、抽样调查行业的地基——单次不可预测，长期铁面无私。

为什么是「定律」而不是「规则」：它像重力一样不可商量。赌场不怕你赢一把，怕的是你不走——它每个游戏的期望都为正（对赌场），大数定律保证它长期稳赚。反过来，「连输十把该转运了」是幻觉，下一局的概率一分没变。

中心极限定理：更神奇的升级。不管原始数据是什么分布——掷骰子的均匀分布、抽卡的偏态分布——只要独立地抽很多次、算平均，这个平均值的分布就逼近正态分布！样本越大越像。这就是统计学里的「正态为王的来历」，也是为什么上一节说正态是大自然的默认形状。

它有什么用：想知道全市中学生的平均身高，不用量一百万人——随机抽 1000 人算平均，中心极限定理告诉你这个平均值的误差大致服从正态分布，可以算出「95% 把握误差不超过 ±2 厘米」。民意调查、药物试验、质量抽检，全走这条路。

真实例子：2020 年美国总统大选民调，各家机构抽样千余人就敢预测全国——靠的就是中心极限定理（当然，抽样不随机会翻车，那是下一节的话题）。

常见误区：大数定律不保证「回归平均很快」。掷硬币连续 10 次正面后，正反面差距不会被「追回来」，只是被后来的海量试验稀释掉。定律管的是「比例收敛」，不是「欠债要还」。

练一练：掷硬币 100 次，正面比例大概率落在什么范围？（提示：标准差约为 $\frac{1}{2\sqrt{n}}$）