条件概率与独立性

信息改变概率。「明天下雨的概率」是一个数；但如果告诉你「今晚乌云密布、气压骤降」，这个数就该上调——在已知某个条件下的概率，叫条件概率，记作 $P(A|B)$，读作「在 B 发生的条件下 A 的概率」。

一个算得清的例。袋子里有 3 红 2 蓝共 5 个球，不放回地摸两次。第一次摸红后，第二次再摸红的概率是多少？袋里只剩 2 红 2 蓝，所以 $P(\text{第二次红}|\text{第一次红})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$——比一开始的 $\frac{3}{5}$ 小了，因为条件改变了牌桌上的牌。

独立性：互不影响。放回地摸球（摸完放回去），第二次的结果就不受第一次影响——两个事件「独立」。判断独立的白话标准：知道一个发生，会不会让你改口另一个的概率？ 掷两次硬币，互不影响，独立；今天下雨和地面湿，明显相关，不独立。

乘法法则：两个独立事件同时发生的概率 = 各自概率相乘。连掷两次硬币都是正面的概率是 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。这也解释了为什么「连续 10 次成功」很难：即使单次成功率高达 90%，连续 10 次也只有 $0.9^{10}\approx 35\%$。

真实例子：飞机有双发动机，单台故障概率若是万分之一且相互独立，两台同时坏的概率是一亿分之一——冗余设计就是乘法法则的工程应用。

常见误区：「独立」和「互斥」别搞混。互斥是「不能同时发生」（掷一次骰子，不能既出 3 又出 5）；独立是「互不影响」。两个互斥事件（概率都不为 0）一定不独立——因为一个发生了，另一个的概率立刻变 0。

练一练：某班 40 人，其中 15 人学钢琴，随机抽 2 人（不放回），两人都学钢琴的概率是多少？