逻辑代数基础

一门为逻辑而生的代数

1854 年，英国数学家布尔发表了一套「思维的代数」：变量只取真、假两个值，运算只有与、或、非。当时没人知道它有什么用。八十多年后，香农在硕士论文里证明：这套代数可以精确描述开关电路。布尔代数从此成了整个数字电路的数学地基。

三条运算，对应三种门

与（写作 A·B）：两个都为 1 才得 1，像串联的两个开关；或（A+B）：有一个 1 就得 1，像并联开关；非（A′）：唱反调。普通代数里的交换律、结合律、分配律这里大多成立，但有一条很新鲜：A + A·B = A——A 已经说了算，再「与」上 B 纯属多余。

最有用的工具：摩根定律

它的白话版是：「把非号拆开，与要变成或，或要变成与」。比如「不是所有灯都亮」等于「至少有一盏灯不亮」。写公式就是 (A·B)′ = A′ + B′。这条定律能帮你把电路里的非号搬来搬去，常常一搬就省掉好几个门。

真值表：逻辑的「户口本」

把输入的所有组合列出来，逐行写出输出，就是真值表。两个输入 4 行，三个输入 8 行，n 个输入 2 的 n 次方行。任何组合逻辑，先立真值表，再从表里读出表达式——这是设计电路的标准起手式。

练一练：列出「A·B + A′」的真值表（4 行），看看它其实等价于哪个更简单的式子。