随机变量的函数分布（第2组）

接住上一课

第1组枚举离散原像，本组处理连续变量的和、最大值、最小值与二维变换，优先使用分布函数法和Jacobian。

教师带你完成主模型

X、Y独立U(0,1)，M=max(X,Y)。F_M(m)=P(X≤m,Y≤m)=m²（0≤m≤1），所以P(M≤0.5)=0.25。

公式卡（可直接提取）

公式： 独立变量最大值 F_M(t)=∏_iF_i(t)；最小值尾概率 P(m>t)=∏_i[1-F_i(t)]。和的密度在独立且密度存在时 f_{X+Y}(z)=∫f_X(x)f_Y(z-x)dx，积分范围由两密度支持集共同决定。一般二维一一变换使用Jacobian绝对值。

第二次当场检查

最大值适合用CDF，最小值适合用生存函数。卷积边界随z分段，不能固定照抄。非一一变换需汇总所有分支。

我会追问的易错点

最大值CDF写成概率相加、卷积漏支持边界、Jacobian不取绝对值，是三类错误。

迁移到下一题

求两个独立U(0,1)变量之和的三角形密度，并用积分为1核对。

口头复述与验算

请不看正文复述四件事：公式解决什么问题；每个符号代表什么；成立条件是什么；越过适用边界会出现哪一种错误。随后做归一化、概率范围、量纲和极端参数检查。离散模型核对概率总和，连续模型核对密度积分，统计量核对是否只由样本构成。

公式卡用于速查，但速查不能替代条件判断。独立性要验证联合分布能否分解，变量变换要覆盖全部原像，期望与方差要先确认存在，抽样分布要核验总体正态或样本量条件。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留求和或积分边界、标准化步骤和参数范围；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。