二维离散型随机变量的分布

接住上一课

联合分布函数进入离散情形后，可用二维概率表列出每对取值概率，行和列和分别给边缘分布。

教师带你完成主模型

X、Y独立Bernoulli(0.5)，则P(X+Y=1)=P(1,0)+P(0,1)=0.25+0.25=0.5。二维表四格均为0.25，行列和均为0.5。

公式卡（可直接提取）

联合分布律： p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)，满足p_{ij}≥0、Σ_iΣ_j p_{ij}=1。边缘概率 p_i^X=Σ_jp_{ij}、p_j^Y=Σ_ip_{ij}。独立当且仅当对所有i,j有 p_{ij}=p_i^Xp_j^Y。函数概率对满足条件的格点求和。

第二次当场检查

由联合表可求条件分布P(X=x_i|Y=y_j)=p_{ij}/p_j^Y，分母需正。独立性必须逐格检查，不能只挑一个格子。

我会追问的易错点

边缘概率求和方向错、满足X+Y=1的格点漏项、一个格子符合乘积就判独立，是三类错误。

迁移到下一题

给定2×3联合表，补未知常数、求两条边缘分布与一个条件分布，并逐格检验独立性。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 联合分布先归一化，再由求和或积分得到边缘；独立要求联合分布可分解为边缘乘积。边界：只验一点不足以判独立。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。