随机变量的独立性

接住上一课

重要联合分布给出直观模型，本课用联合分布分解严格判断随机变量独立，并区分独立、零协方差与函数独立性。

教师带你完成主模型

联合密度f(x,y)=4xy（0<x,y<1）。边缘密度分别为2x、2y，乘积恰为4xy，所以X、Y独立。P(X≤1/2,Y≤1/2)=(1/4)(1/4)=1/16。

公式卡（可直接提取）

公式： X,Y独立 ⇔ F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y) 对所有x,y成立；在联合密度存在时等价于 f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) 几乎处处成立。离散情形要求每个格点p_ij=p_i p_j。独立变量的可测函数g(X)、h(Y)仍独立。

第二次当场检查

独立推出在二阶矩存在时协方差为0；反向一般不成立。验证密度分解还要检查支持域是否为直积区域。

我会追问的易错点

只验一个点、只看公式因式分解却忽略非矩形支持、零协方差就判独立，是三类错误。

迁移到下一题

构造零协方差但不独立的离散例子，并指出联合表哪一格违反乘积关系。

口头复述与验算

请不看正文复述四件事：公式解决什么问题；每个符号代表什么；成立条件是什么；越过适用边界会出现哪一种错误。随后做归一化、概率范围、量纲和极端参数检查。离散模型核对概率总和，连续模型核对密度积分，统计量核对是否只由样本构成。

公式卡用于速查，但速查不能替代条件判断。独立性要验证联合分布能否分解，变量变换要覆盖全部原像，期望与方差要先确认存在，抽样分布要核验总体正态或样本量条件。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留求和或积分边界、标准化步骤和参数范围；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。