二维随机变量及其分布函数

接住上一课

一维变量用F_X描述，二维变量用联合分布函数描述同时落入左下矩形的概率，并可由边缘极限恢复各分量分布。

教师带你完成主模型

X、Y独立且均匀于[0,1]。F(x,y)=P(X≤x)P(Y≤y)，所以F(0.5,0.4)=0.5×0.4=0.2。独立性在这里让联合分布函数分解。

公式卡（可直接提取）

公式： 联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。矩形概率 P(a<X≤b,c<Y≤d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)。边缘分布 F_X(x)=lim_{y→∞}F(x,y)，F_Y(y)=lim_{x→∞}F(x,y)。二维增量必须非负。

第二次当场检查

联合F分别对x、y非降、右连续，趋向边界满足概率极限。独立时F=F_XF_Y，反向也成立。不能只由零相关推出独立。

我会追问的易错点

矩形四项符号错、把F(x,y)当P(X=x,Y=y)、边缘分布把另一变量代0而非趋∞，是三类错误。

迁移到下一题

给定分段联合F，计算一个矩形概率并取两次边缘极限，检查总概率为1。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。