随机变量函数的分布

接住上一课

知道X的分布后常需研究Y=g(X)。最稳方法是先求F_Y(y)=P(g(X)≤y)，再按单调分支或原像集合处理。

教师带你完成主模型

X~U(0,1)，Y=X²。对0≤y≤1，F_Y(y)=P(X≤sqrt(y))=sqrt(y)，所以P(Y≤0.25)=0.5。Y仍只在[0,1]取值。

公式卡（可直接提取）

分布函数法： F_Y(y)=P(g(X)≤y)。若g严格单调可逆且X连续，则 f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y)) |d g^{-1}(y)/dy|。若g非单调，必须对所有原像分支求和，并限定各分支支持。离散情形则合并映到同一y的点概率。

第二次当场检查

平方、绝对值等非一一映射要拆分正负原像。线性变换Y=aX+b中a<0时不等号反向。完成后检查新密度积分为1。

我会追问的易错点

只取一个原像、Jacobian漏绝对值、新变量支持集照搬旧区间，是三类错误。分布函数法通常最不易漏分支。

迁移到下一题

X~U(-1,1)，求Y=X²的分布函数和密度，明确两个原像对密度的共同贡献。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 分布函数单调不减且右连续；离散质量求和为1，连续密度非负且积分为1。边界：连续型点概率为0，但密度值可大于1。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。