常见离散型随机变量

接住上一课

一般离散分布靠列表，本课识别Bernoulli、二项、Poisson与几何分布，并把参数含义与试验条件绑定。

教师带你完成主模型

X~Bin(3,0.5)，则P(X=2)=C(3,2)(0.5)^2(0.5)=3/8。二项模型要求3次试验独立、每次只有成败且成功概率固定。

公式卡（可直接提取）

二项公式： P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}，k=0,…,n；n是独立重复次数，p是每次固定成功概率。Poisson： P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!，λ>0。几何分布需先约定X表示首次成功所需次数还是失败次数。

第二次当场检查

Bernoulli是n=1的二项分布。Poisson常描述单位区间稀有事件次数，并可近似n大p小且np≈λ的二项分布。

我会追问的易错点

不放回抽样直接套二项、组合数漏掉、几何分布起点约定混乱，是三类错误。使用前必须逐条核验独立与同分布条件。

迁移到下一题

计算5次独立试验恰2次成功以及至少1次成功，用补事件核对后者。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 分布函数单调不减且右连续；离散质量求和为1，连续密度非负且积分为1。边界：连续型点概率为0，但密度值可大于1。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。