几种重要的连续型分布

接住上一课

一般密度靠积分，本课识别均匀、指数和正态分布，重点是参数、支持集与标准化，而不是只背曲线形状。

教师带你完成主模型

X~Exp(λ=2)，由无记忆性或尾分布公式P(X>1)=e^{-2}。指数变量只取非负值，λ是速率参数而非均值；均值是1/λ。

公式卡（可直接提取）

指数分布： f(x)=λe^{-λx}, x≥0，P(X>t)=e^{-λt}，λ>0。均匀分布U(a,b)： 区间内密度1/(b-a)。正态标准化： Z=(X-μ)/σ ~ N(0,1)，要求σ>0；查表需利用Φ(-z)=1-Φ(z)。

第二次当场检查

指数分布无记忆：P(X>s+t|X>s)=P(X>t)。正态分布关于μ对称，μ是位置，σ控制尺度。连续分布端点不影响概率。

我会追问的易错点

把指数速率λ当均值、正态标准化分母写σ²、忘记指数支持x≥0，是三类错误。参数必须满足λ>0、σ>0、a<b。

迁移到下一题

X~N(10,4)，把P(8<X<12)标准化；注意第二参数若表示方差，则σ=2。

口头复述与验算

请依次复述：随机对象是什么；公式中每个符号代表什么；成立条件是哪一条；若条件删除，公式在哪一步失效。随后检查概率是否位于[0,1]，离散概率和是否为1，连续密度积分是否为1，分布函数是否单调右连续。

最后遮住正文，在空白纸上重写公式、条件和一个反例。公式不能只背等号：条件概率的分母事件须有正概率，独立性必须由乘积关系检验，变量变换要覆盖全部原像并处理Jacobian。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留样本空间、求和或积分边界；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。

公式/结论卡（可直接提取）

结论： 分布函数单调不减且右连续；离散质量求和为1，连续密度非负且积分为1。边界：连续型点概率为0，但密度值可大于1。

抄卡时同时保留符号含义、成立条件和失效边界。公式不是孤立口令；题目条件变化后，必须重新判断入口。