数学期望

接住上一课

分布回答随机变量怎样取值，数字特征把整个分布压缩为可比较的指标。期望是按概率加权的长期平均，但前提是相应绝对和或积分存在。

教师带你完成主模型

X~Bernoulli(0.3)，E[X]=0·0.7+1·0.3=0.3。它不是说一次试验取0.3，而是大量重复的样本均值趋近0.3。

公式卡（可直接提取）

公式： 离散 E[g(X)]=Σg(x_k)p_k；连续 E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx。期望存在通常要求绝对可积。线性性质 E[aX+bY+c]=aE[X]+bE[Y]+c 不要求X、Y独立；乘积公式E[XY]=E[X]E[Y]则通常需要独立且期望存在。

第二次当场检查

常见结果：Bernoulli(p)期望p，Bin(n,p)期望np，Poisson(λ)期望λ。先查存在性再用性质。

我会追问的易错点

把期望当最可能值、线性期望误加独立条件、期望不存在仍代公式，是三类错误。

迁移到下一题

由指示变量分解二项变量并推导E[X]=np，不直接展开二项和。

口头复述与验算

请不看正文复述四件事：公式解决什么问题；每个符号代表什么；成立条件是什么；越过适用边界会出现哪一种错误。随后做归一化、概率范围、量纲和极端参数检查。离散模型核对概率总和，连续模型核对密度积分，统计量核对是否只由样本构成。

公式卡用于速查，但速查不能替代条件判断。独立性要验证联合分布能否分解，变量变换要覆盖全部原像，期望与方差要先确认存在，抽样分布要核验总体正态或样本量条件。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留求和或积分边界、标准化步骤和参数范围；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。