相关系数

接住上一课

协方差受量纲影响，相关系数用两个标准差归一化，把线性相关强度限制在[-1,1]。

教师带你完成主模型

若Y=2X+1且VarX>0，则Cov(X,Y)=2VarX，σ_Y=2σ_X，所以ρ=1。严格正线性关系达到上界。

公式卡（可直接提取）

公式： ρ_{XY}=Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y)，要求0<VarX,VarY<∞。Cauchy-Schwarz给|ρ|≤1；|ρ|=1当且仅当Y=aX+b几乎处处成立，其中ρ符号与a相同。ρ=0仅表示无线性相关，一般不表示独立。

第二次当场检查

平移不改变ρ，正尺度不改变符号，负尺度翻转符号。二维正态中ρ=0才可进一步推出独立。

我会追问的易错点

方差为0仍算相关系数、把ρ=0当一般独立、忽略负比例的符号，是三类错误。

迁移到下一题

比较Y=3X-2与Z=-X+5相对X的相关系数，并说明为何尺度大小不影响绝对值。

口头复述与验算

请不看正文复述四件事：公式解决什么问题；每个符号代表什么；成立条件是什么；越过适用边界会出现哪一种错误。随后做归一化、概率范围、量纲和极端参数检查。离散模型核对概率总和，连续模型核对密度积分，统计量核对是否只由样本构成。

公式卡用于速查，但速查不能替代条件判断。独立性要验证联合分布能否分解，变量变换要覆盖全部原像，期望与方差要先确认存在，抽样分布要核验总体正态或样本量条件。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留求和或积分边界、标准化步骤和参数范围；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。