协方差

接住上一课

方差只描述单变量波动，协方差衡量两个变量共同线性变化的方向与尺度，并进入和的方差公式。

教师带你完成主模型

X~Bernoulli(0.5)，Y=2X。Cov(X,Y)=Cov(X,2X)=2VarX=2×0.25=0.5。正值反映Y随X同向变化。

公式卡（可直接提取）

公式： Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[XY]-EX·EY，要求相关二阶矩存在。Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)；Var(X+Y)=VarX+VarY+2Cov(X,Y)。独立推出协方差0，反向一般不成立。

第二次当场检查

Cov(X,X)=VarX，交换变量不变。常数与任何变量协方差为0。协方差有单位且受尺度影响，因此比较强弱常用相关系数。

我会追问的易错点

零协方差判独立、漏减EX·EY、平移常数进入协方差，是三类错误。

迁移到下一题

构造Y=X²且X关于0对称的例子，验证Cov(X,Y)=0但二者不独立。

口头复述与验算

请不看正文复述四件事：公式解决什么问题；每个符号代表什么；成立条件是什么；越过适用边界会出现哪一种错误。随后做归一化、概率范围、量纲和极端参数检查。离散模型核对概率总和，连续模型核对密度积分，统计量核对是否只由样本构成。

公式卡用于速查，但速查不能替代条件判断。独立性要验证联合分布能否分解，变量变换要覆盖全部原像，期望与方差要先确认存在，抽样分布要核验总体正态或样本量条件。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留求和或积分边界、标准化步骤和参数范围；答错时只记录第一处逻辑错误，隔一天无提示重做。