定积分的应用

接住上一课

定积分、变限积分和反常积分已经给出累积量的计算框架。本课把函数图形翻译为面积、旋转体体积、弧长与平均值；第一步永远是画区间并确定非负的几何微元。

教师带你完成主模型

求y=x与y=x²在[0,1]之间的面积。区间内x≥x²，所以A=∫_0^1(x-x²)dx=[x²/2-x³/3]_0^1=1/6。面积必须用上函数减下函数；若曲线中途交换高低，应先求交点并分段，不能让正负抵消。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

绕x轴旋转用圆盘或垫片V=π∫(R²-r²)dx，绕y轴也可改用壳层2π∫x·高度dx。弧长公式含根号sqrt(1+(y')²)，平均值为(b-a)^{-1}∫f。每个公式都来自不同微元，应先说明几何量再套式。

我会追问的易错点

把面积直接写成∫(f-g)却不判正负、旋转体忘记半径平方、平均值漏除区间长度，是三类高频错误。结果还应做量纲和范围检查：面积非负，平均值位于连续函数最小值与最大值之间。

迁移到下一题

求y=x和y=x²围成区域绕x轴旋转所得体积，分别写外半径、内半径和积分区间；完成后用体积小于外圆盘体积做估计。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。