反常积分

接住上一课

普通定积分要求有限区间且被积函数有界。区间无穷或被积函数在端点、内部无界时，必须把积分定义为极限，再讨论收敛。

教师带你完成主模型

计算∫1^∞x^{-2}dx。定义为lim{R→∞}∫_1^R x^{-2}dx=lim[-1/x]_1^R=1。更一般地，∫_1^∞x^{-p}dx在p>1时收敛，p≤1时发散。结论来自极限，不能把∞直接当作可代入的数。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若奇点位于区间内部，必须从奇点处分成两个反常积分，两边都收敛才称整体收敛，不能用正负抵消冒充收敛。比较判别需保证最终非负，并明确比较方向：被较小函数控制可证收敛，被较大发散函数控制可证发散。

我会追问的易错点

直接写[-1/x]_1^∞、混淆p积分在0附近与无穷远的判据、只算柯西主值，是常见漏洞。∫_0^1x^{-p}dx恰在p<1收敛，与无穷远条件相反。

迁移到下一题

分别判定∫_1^∞1/x dx与∫_0^1x^{-1/2}dx；写出截断参数、极限过程和最终敛散性。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。