定积分

接住上一课

不定积分寻找函数族，定积分由分割、近似求和与取极限定义，表示带方向的累积量。微积分基本定理把它与原函数连接起来。

教师带你完成主模型

计算∫_0^1(3x²+1)dx。原函数为x³+x，代上限减下限得到2。这里的2是一个数，不再写+C。若交换上下限，积分变为-2；若上下限相同，积分为0。这些性质来自定积分定义而非面积直觉。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

被积函数非负时定积分等于几何面积；有正有负时得到代数面积。估值时若m≤f≤M，则m(b-a)≤∫_a^b f≤M(b-a)。利用奇偶性前必须确认区间关于原点对称。

我会追问的易错点

代上下限时忘记整体括号、定积分末尾写+C、把负面积改成正数，都会改变对象。换元时上下限也要同步改变；若换回原变量后再代原上下限，则不要混用新边界。

迁移到下一题

计算∫_{-1}^1(x³+x²)dx，先用奇偶性消去奇函数部分，再直接积分核对。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。