不定积分的计算

接住上一课

概念课确定原函数族，本课用直接积分、换元与分部积分解决结构化表达式。选方法前先识别复合导数、乘积和有理结构。

教师带你完成主模型

计算∫x e^{x²}dx。令u=x²，则du=2x dx，所以原积分=(1/2)∫e^u du=(1/2)e^{x²}+C。求导验算得到(1/2)e^{x²}·2x=x e^{x²}。换元不是把字母换掉，而是被积表达式和微分必须整体匹配。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

乘积中一项求导会简化、另一项容易积分时考虑分部积分∫u dv=uv-∫v du，例如∫x e^x dx=e^x(x-1)+C。有理函数先判断真假分式，必要时多项式除法，再做部分分式。

我会追问的易错点

换元漏尺度因子、分部积分漏负号、对数原函数漏绝对值最常见。若换元后仍同时出现x和u，说明替换不完整。每次完成后求导，能够立刻发现大多数系数错误。

迁移到下一题

分别用换元计算∫x/(1+x²)dx、用分部积分计算∫x cos x dx，并对两份结果逐项求导。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。