变限积分

接住上一课

定积分把固定区间映成一个数；让上限随x变化，就得到新的函数。微积分基本定理说明累积函数的瞬时变化率就是端点处的被积函数。

教师带你完成主模型

设F(x)=∫_0^{x²}(1+t²)dt。先看外层上限u=x²，由链式法则F'(x)=[1+(x²)²]·2x=2x(1+x⁴)。积分变量t是哑变量，求导后应代入上限x²，再乘上限导数。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

一般地，d/dx∫_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)。若被积函数还显含x，则需使用莱布尼茨公式，不能只处理端点。求极值时可先由变限积分求导，再研究导函数符号。

我会追问的易错点

漏乘上限导数、下限项漏负号、把哑变量t直接对x求导，是三类错误。若上下限均为常数，导数应为0；这个极端情形可用于反查公式。

迁移到下一题

求G(x)=∫_{x}^{x²}e^{t²}dt的导数，分别写上限项和下限项；在x=1处计算数值并检查两端相同但导数未必为零。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。