微积分中值定理（第1组）

接住上一课

导数应用依赖函数在区间上的整体信息。本组从罗尔定理和拉格朗日中值定理开始：先逐条核验闭区间连续、开区间可导，再建立端点增量与内部导数的联系。

教师带你完成主模型

对f(x)=x²在[1,3]应用拉格朗日中值定理。平均变化率为(9-1)/(3-1)=4，令f'(c)=2c=4，得c=2，且2确在(1,3)。定理只保证至少存在一个c；具体函数可能有唯一或多个满足点。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

罗尔定理是在端点函数值相等时得到f'(c)=0，是拉格朗日定理的特例。证明恒等式或根的存在时，辅助函数的构造要让目标结论变成某个导数等于零；写完函数后必须回头核验三项条件。

我会追问的易错点

漏写闭区间连续与开区间可导、把c写在闭区间端点、认为中值点必唯一，都会破坏定理结论。遇到|x|等函数要特别检查不可导点是否落在开区间内。

迁移到下一题

对f(x)=ln x在[1,e]求中值点c，并说明为何区间不能跨过0；再构造辅助函数证明方程e^x=1+x在x=0附近的比较关系。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。