微积分中值定理（第2组）

接住上一课

第一组把端点差与一阶导数连接。本组加入柯西中值定理、Taylor公式与证明题中的辅助函数设计，目标是从‘会套定理’提升为‘会选择定理’。

教师带你完成主模型

对f(x)=ln x、g(x)=x-1在x→1时使用柯西中值思想，可得到比值增量对应某中间点的导数比1/c，随区间缩小趋1，因此lim ln x/(x-1)=1。直接用基本极限也可，但中值定理展示了比值极限背后的导数结构。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

Taylor公式用于局部展开时必须写展开点、阶数和余项。证明不等式常把两边移项构造F，再研究F'或利用中值定理；证明存在多个零点则可在相邻零点区间反复使用罗尔定理。选择工具取决于目标是差、比还是高阶近似。

我会追问的易错点

把柯西中值定理写成两个互不相关的中值点，或Taylor展开后完全不处理余项，都是逻辑缺口。洛必达法也依赖柯西中值定理的条件，不能在非不定式上机械求导。

迁移到下一题

用Taylor公式证明e^x≥1+x，并说明等号条件；再证明若函数有三个不同零点，其二阶导数至少有一个零点。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。