多元函数的基本概念

接住上一课

一元函数只有左右方向，多元函数可从无穷多条路径靠近一点。本课建立定义域、邻域、二重极限与连续的语言，重点是区分沿路径检验和完整二维极限。

教师带你完成主模型

函数z=x²+3y²在(1,1)的值为4，且多项式在全平面连续，所以趋近该点时极限也是4。若要否定一个二元极限，只需找两条路径得到不同结果；若两条路径相同却不能证明极限存在，因为还剩无穷多条路径。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

极坐标法常把(x,y)写成(r cosθ,r sinθ)。若表达式绝对值可由只依赖r且趋0的量一致控制，才能证明与方向无关。定义域边界、内点和闭区域将在偏导、极值和二重积分中反复出现。

我会追问的易错点

只代y=0与x=0两条路径便宣布极限存在，是最典型错误。另一个错误是把分别对x、y连续误当联合连续；多元极限要求所有路径统一趋近。

迁移到下一题

讨论xy/(x²+y²)在原点的极限：分别沿y=0与y=x取值并解释哪一步足以否定极限；再思考为何极坐标中的角度项无法统一消失。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。