二元隐函数的偏导计算

接住上一课

全微分给出复合变化的线性表达。隐函数F(x,y)=0没有显式解出y，但只要F_y不为零，就能在局部把y看作x的函数并求导。

教师带你完成主模型

对x²+xy+y²=7，在点(1,2)有F_x=2x+y=4、F_y=x+2y=5，所以y'=-F_x/F_y=-4/5。也可直接对x求导：2x+y+xy'+2yy'=0，收集y'后得到同一结果。F_y≠0是局部解出y的关键条件。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

若F(x,y,z)=0局部确定z=z(x,y)，则z_x=-F_x/F_z、z_y=-F_y/F_z。偏导均在曲面点处计算。复合嵌套时可先写全微分dF=0，再按目标变量整理，通常比硬背公式稳。

我会追问的易错点

直接写-F_y/F_x导致分子分母倒置，隐式求导时漏掉y'，或不检查分母是否为零，都会使公式失效。公式只保证局部关系，不等于全局只有一个分支。

迁移到下一题

对x²+y²+z²=9且z>0求z_x、z_y，并在(1,2,2)代值；说明为何上下半球必须分支讨论。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。