全微分

接住上一课

偏导只描述坐标轴方向。全微分要求函数增量能被一个关于Δx、Δy的线性式统一逼近，是多元函数真正的局部线性化。

教师带你完成主模型

f=x²+xy+y²，在(1,2)有f_x=2x+y=4、f_y=x+2y=5，所以df=4dx+5dy。取dx=0.1、dy=-0.1，线性主部为-0.1。它近似真实增量，误差相对sqrt(dx²+dy²)必须趋0才叫可微。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

多元函数可微可推出连续与偏导存在；反向一般不成立。若偏导在点的某邻域存在并在该点连续，则函数在该点可微，这是常用充分条件而不是定义本身。复合函数全微分可用链式法则组织。

我会追问的易错点

把df写成f_x+f_y而漏掉dx、dy，或只因两个偏导存在就断言可微，都会丢掉线性逼近的核心。全微分是线性映射，不是两个孤立数字。

迁移到下一题

用全微分估算sqrt(4.04+0.03)，选择合适展开点并写清两个变量增量；再与计算器数值比较误差阶。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。