偏导数的定义与计算

接住上一课

多元极限说明可以从多方向接近。偏导数固定其他变量，只测坐标方向的瞬时变化率；它是一元导数在切片上的应用，但不能独自代表所有方向。

教师带你完成主模型

设z=x²y+sin y。对x求偏导时把y视为常数，z_x=2xy；在(2,1)得4。对y求偏导时把x视为常数，z_y=x²+cos y。混合偏导必须按顺序继续求，若二阶混合偏导在邻域连续，则z_xy=z_yx。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

偏导存在不保证函数连续，更不自动保证可微。定义计算z_x(x0,y0)时只让x产生增量h，分母为h；遇到分段函数原点问题，常需回到这个定义，不能直接套光滑公式。

我会追问的易错点

对x求偏导时仍对y求导、忘记固定变量，或把偏导存在当作可微充分条件，是高频概念错。符号∂z/∂x表示其他自变量暂时固定，并不表示y永远与x无关。

迁移到下一题

求z=e^{xy}+x²y的两个一阶偏导与z_xy，并在(0,1)代值；随后检查混合偏导交换所需的连续条件。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。