多元函数的极值与最值

接住上一课

偏导与全微分提供局部线性信息，本课用梯度为零寻找内部驻点，再用二次型判别极值；闭区域最值还必须比较边界与角点。

教师带你完成主模型

f=x²+y²-2x+4y=(x-1)²+(y+2)²-5，所以全平面最小值为-5，在(1,-2)取得。偏导法也给f_x=2x-2、f_y=2y+4，驻点相同；Hessian正定确认严格极小。配方法可作为独立反查。

你现在先停一下：不看结论，重新写出“型别或定义—合法变形—极限结论”三行。每一行都必须能说明为什么，而不是只写公式名称。

第二次当场检查

二元二阶判别中A=f_xx，B=f_xy，C=f_yy，D=AC-B²。D>0且A>0为极小，D>0且A<0为极大，D<0为鞍点，D=0时判别失效。约束极值可用拉格朗日乘子，但仍要检查约束正则性并比较候选值。

我会追问的易错点

只解梯度为零就宣布极值、在闭区域漏查边界、D=0时强行分类，是三大错误。梯度不存在的点也可能成为极值候选，必须结合定义域整体检查。

迁移到下一题

求f=x²+y²在约束x+y=1下的最值，分别用代入法和拉格朗日乘子法，并比较候选点与几何距离解释。

口头复述与验算

请用自己的话回答三个追问：这道题的输入条件是什么；哪一步决定最终结果；若把参数改成两倍，答案应怎样变化。随后用一个足够小的数或左右两组取值做量级检查。数值检查只能发现可疑结果，不能替代定义、定理条件和推导。

最后合上正文，在空白纸上重建一次解题路线。若中途需要回看，只记录卡住的那一步；重做时优先修复这一个断点，而不是整段抄写标准答案。

验算结束后，再写一句本题所用方法的适用边界，确保下一题条件变化时不会机械照搬。

完成页面单选、多选与计算题。计算题保留关键极限、展开阶或左右判断；答错时只标第一处逻辑错误，隔一天遮住答案重做。