自然投影：从原群到商群的信息压缩

本课要解决的问题

把每个元素送到其陪集的映射，究竟保留了什么、丢掉了什么？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

自然投影 π:G→G/H 定义为 π(g)=gH。它保留运算：π(ab)=abH=(aH)(bH)=π(a)π(b)，并覆盖每个陪集。所有 H 中元素都被送到单位陪集 H，因此 H 正是被压缩掉的差异。

推导主线

π(a)=π(b) 当且仅当 aH=bH，当且仅当 a⁻¹b∈H。也就是说，商群只记住元素相差哪一个 H 陪集，而忘掉陪集内部差别。这个观察将在下一章被抽象成同态、核与第一同构定理。

完整例题

π:Z→Z/5Z 把整数送到模5剩余类。7与12都映到[2]，因为12-7=5∈5Z。区间0到99的100个整数均匀落入5个剩余类，每类20个。

严格边界

投影丢失信息，除非 H={e}，否则不能由陪集唯一恢复原元素。商结构是否适合应用取决于被忽略的差异是否确实无关。

课后闭环

对整数模时钟问题明确写出投影、等价关系与丢失的信息；比较模12与模24何时足以描述同一个周期现象。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。