共轭与正规性：子群在群内换视角后是否不变

本课要解决的问题

同一个局部结构被群元素搬到另一个位置后，什么时候仍是原来的子群？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

对 g∈G，映射 x↦gxg⁻¹ 称为共轭。子群 H 的共轭 gHg⁻¹ 仍是子群，但未必等于 H。若对所有 g 都有 gHg⁻¹=H，则 H 是正规子群，记 H◁G。这等价于所有 g 都满足 gH=Hg，也等价于 ghg⁻¹∈H 对任意 h∈H 成立。

推导主线

若 gHg⁻¹=H，则左陪集 gH 中任意 gh 可写成 (ghg⁻¹)g∈Hg，所以 gH⊆Hg；反向同理。反之若 gH=Hg，则对 h∈H 可写 gh=h'g，得到 ghg⁻¹=h'∈H。正规性正是左右平移相容的条件。

完整例题

在 S₃ 中，A₃={e,(123),(132)} 对共轭封闭，因此正规；由一个换位生成的2阶子群则会被共轭成另一个换位子群，通常不正规。A₃ 有3个元素，在 S₃ 中指数为2。

严格边界

正规不等于群内每个元素都与 H 的元素交换；它只要求整个子群集合在共轭下不变。正规性是相对于母群而言，同一 H 放入不同母群结论可能改变。

课后闭环

在 S₃ 中逐个计算 (12)(123)(12)⁻¹ 与 (12)(132)(12)⁻¹，验证 A₃ 稳定；再对 H=⟨(12)⟩ 找出使其改变的共轭。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。