商群结构：把不可区分的元素压缩成一个点

本课要解决的问题

正规子群被视为‘零差异’后，新群的单位元、逆元和大小是什么？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

若 H◁G，商群 G/H 的元素是陪集，单位元是 H=eH，aH 的逆元是 a⁻¹H。有限时 |G/H|=[G:H]=|G|/|H|。商群不是从 G 删除 H，而是把每个相差一个 H 元素的对象归为同一个等价类。

推导主线

结合律继承自 G：(aH)((bH)(cH))=a(bc)H=(ab)cH=((aH)(bH))(cH)。单位元 H 满足 (aH)H=aH；逆元满足 (aH)(a⁻¹H)=H。良定义已解决代表元问题，因此四条群公理成立。

完整例题

在 Z₁₂ 中 H=⟨4⟩={0,4,8}，商群有12/3=4个元素：H、1+H、2+H、3+H；加法结构与 Z₄ 相同。注意 H 本身在商群里成为单位元。

严格边界

G/H 的阶较小不代表它一定结构简单或循环；具体结构要看陪集运算。记号 G/H 默认 H 正规，若只知 H≤G，应先核验正规性。

课后闭环

写出 Z₁₈/⟨6⟩ 的全部陪集、加法表、单位元和每个元素的逆元，并识别它同构于哪个熟悉循环群。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。