商群的关键：陪集乘法为什么必须良定义

本课要解决的问题

若把一个陪集看成一个新元素，怎样保证换代表元不会改变乘积？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

候选运算定义为 (aH)(bH)=abH。一个陪集有许多代表元，因此必须证明若 aH=a'H、bH=b'H，则 abH=a'b'H。这个与代表元无关的性质称为良定义。H 正规恰好提供把 H 元素移过 b 的能力。

推导主线

写 a'=ah₁、b'=bh₂。则 a'b'=ah₁bh₂=ab(b⁻¹h₁b)h₂。若 H 正规，b⁻¹h₁b∈H，后两因子的乘积仍在 H，所以 a'b'H=abH。若 H 不正规，这一步可能失败，陪集乘法便不成为函数。

完整例题

在加法群 Z 中，nZ 正规，定义 (a+nZ)+(b+nZ)=(a+b)+nZ。代表元2与7在模5下同陪集，3与8也同陪集；2+3与7+8分别为5、15，仍落在同一陪集0+5Z。

严格边界

不能只在一组代表元上算得顺利就宣称良定义；必须处理任意代表元。商集 G/H 总能作为集合形成，但只有 H 正规时上述自然乘法才给出群。

课后闭环

完整证明 Z/6Z 加法良定义；再用 S₃ 的非正规2阶子群尝试陪集乘法，寻找同陪集代表元产生不同结果的迹象。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。