正规子群判定：哪些结构无需逐个共轭

本课要解决的问题

逐一检查所有群元素成本很高，哪些条件能快速保证正规？

这不是先背名词再找用途。我们从一个确切问题出发，逐步抽出能够重复使用的数学结构。学完本课，你应能解释“为什么要这样定义”，并独立完成一个计算或证明。

概念建立

交换群的每个子群都正规。群的中心 Z(G) 及其任意子群在特定条件下提供自然正规结构；更重要的是，指数为2的子群必正规，因为除 H 外只有一个非平凡左陪集，也只有一个非平凡右陪集，两者只能相同。

推导主线

设 [G:H]=2。若 g∉H，左陪集只有 H 与 gH，且 gH=G−H；右陪集也只有 H 与 Hg，且 Hg=G−H，因此 gH=Hg。若 g∈H，两边都等于 H。于是对所有 g 左右陪集相等，H 正规。

完整例题

D₄ 的旋转子群 R=⟨r⟩ 有4个元素，D₄ 有8个元素，所以指数为2，R◁D₄。反射生成的2阶子群指数为4，指数条件不能保证其正规，实际共轭也会把反射轴换掉。

严格边界

指数为2是充分条件，不是正规子群的必要条件；正规子群可以有更大指数。‘阶为2’与‘指数为2’完全不同，判定时不能混淆。

课后闭环

证明任意交换群的子群正规；再对 D₄ 的旋转子群和一个反射子群分别使用最快判定，并说明为何证据强度不同。

完成页面中的单选、多选和计算题。计算题要保留中间步骤；多选题漏选或多选均视为没有掌握定义。错误按“对象、运算、条件、推理、计算”标出第一处失误，隔一天遮住答案重做。