傅里叶视角：把复杂变化拆成频率

周期信号可以用不同频率的正弦和余弦叠加表示。傅里叶级数把时域形状转换为频率成分，为信号、振动、热传导和偏微分方程提供共同语言。频谱不是额外创造的声音，而是另一种表示。

系数是投影

不同整数频率在完整周期上正交，像互相垂直的坐标轴。把函数与某个基函数相乘并积分，可得到该频率系数。线性代数中的内积与这里直接相连。

幅度与相位

幅度说明频率成分强弱，相位说明在周期中的对齐。只保留幅度会失去波形时序；两个信号可有相似幅度谱却听起来不同。

截断与振铃

有限项只能近似原信号。对跳跃不连续函数，边缘附近会出现吉布斯振荡，增加项数让振荡区域变窄，却不会让相对超调简单消失。

采样与混叠

离散采样频率不足时，高频会伪装成低频。抗混叠需在采样前限制带宽；事后算法不能无条件恢复已经混叠的信息。

窗口与有限记录

只观察有限时间相当于截断信号，会产生频谱泄漏。窗口减小边界突变，也改变分辨率和幅度，需要报告选择。

比较频谱时还要固定采样率、记录长度和归一化约定；否则峰值高度差可能只是分析参数不同，而非信号能量真的改变。

练习：用前几项傅里叶级数逼近方波，观察项数、振铃和频谱，再模拟一次低采样率混叠。