误差传播与条件数：输入误差怎样放大

实验数据和参数总有误差。函数 y=f(x) 在小扰动下可用微分 Δy≈f'(x)Δx 估计输出误差。导数不仅描述变化率，也描述模型对输入误差的局部敏感性。

绝对与相对误差

同样误差0.1，对数值100影响很小，对0.2影响很大。绝对误差适合看单位尺度，相对误差适合跨尺度比较。接近0时相对误差可能失去稳定意义。

多变量传播

若 y=f(x₁,…,xₙ)，一阶近似由各偏导乘输入扰动相加。最坏情况可取绝对值上界；随机独立误差常用平方和估计，但需明确统计假设，不能混用。

条件问题与算法问题

问题本身对输入极敏感叫病态；算法额外放大舍入误差叫数值不稳定。换更高精度可能缓解后者，却不能让病态问题自动获得可靠信息。

相消

两个很接近的大数相减会丢失有效数字。计算 sqrt(x+1)-sqrt(x) 在大 x 时，可有理化为更稳定形式。代数等价不保证浮点计算同样可靠。

报告精度

结果有效位数应匹配输入和敏感性。给出区间或误差估计，比输出十位小数更诚实。

最后用蒙特卡洛扰动输入做交叉检查，观察输出分布是否与一阶近似一致。

练习：分析圆面积对半径测量误差的敏感性，再找一个会发生大数相消的表达式并改写。