向量场、通量与环流：局部箭头的整体效果

速度场、电场和流体场给空间每点分配一个向量。沿曲线的线积分可累计场在切向的作用，穿过曲面的通量积分累计法向流出。两者取向不同，不能只见积分符号就混用。

环流

∫ F·dr 取场在路径切向分量，描述沿路径做功或环流。反转路径方向，积分符号改变。若场为保守场，线积分只与端点有关，闭合路径积分为零。

通量

∫ F·n dS 取法向分量。封闭面需要约定向外法向；开放面方向必须明确。风沿墙面平行吹时穿墙通量为零，即使风速很大。

散度与旋度

散度描述局部源汇倾向，旋度描述局部旋转倾向。它们是微分量，不应只凭一张箭头图主观判断；坐标与尺度也会影响视觉。

大定理的共同思想

格林、斯托克斯和高斯定理把区域内部的微分量与边界积分联系起来，是高维微积分基本定理。使用时检查光滑性、区域和方向约定。

奇点

区域内有源点或场未定义时，直接套“闭路积分为零”可能失败。先检查定义域的孔洞。

计算前画路径方向和法向；计算后反转方向验证符号应改变。方向约定不只是记号，它决定环流和通量的正负解释。

练习：对旋转场画箭头，分别计算一条圆周的环流与穿过圆盘的平面通量，解释差别。