微分方程相图：不求公式也能懂系统

微分方程给变化率规则。即使不能写出显式解，也可通过平衡点、方向场和相图判断长期行为。对许多非线性系统，定性理解比一个复杂公式更有用。

平衡点

令状态导数为零得到平衡。平衡存在不等于稳定：轻微扰动后回到附近叫稳定，远离则不稳定。观察平衡两侧导数符号可判断一维稳定性。

方向场

在平面各点画解曲线斜率，初值解应处处与小线段相切。方向场能检查解析解趋势，也能看出增长、衰减和饱和。

参数与分岔

参数改变可能让平衡点数量或稳定性发生质变。临界参数附近的小变化会改变长期状态，这比只计算单一参数解更重要。

模型边界

指数增长假设增长率与数量成正比，长期会无限增大；逻辑斯蒂模型加入承载量，但仍简化资源、时滞和随机性。解方程前先评价假设。

数值解

欧拉法按局部斜率前进一步，步长过大可能越过真实变化甚至制造不稳定。缩小步长并与更高阶方法比较，检查收敛。

对于刚性系统，即使真实解平滑，显式方法也可能要求极小步长。此时应选择更合适的隐式算法，而不是只增加运行时间。数值曲线漂亮并不证明它跟随真实解。

练习：分析逻辑斯蒂方程的平衡与稳定性，用两个步长数值模拟并比较长期结果。