量纲与尺度：模型先通过常识检查

微积分公式可以推得很漂亮，模型却可能从第一行就错。建模前先定义变量、单位、正方向和适用尺度。等式两边量纲必须一致；指数、对数和三角函数的输入原则上应为无量纲量。

量纲检查

若位置 x 的单位是米、时间 t 是秒，则 dx/dt 为米每秒，二阶导为米每平方秒。把速度和加速度直接相加，数值即使可算，物理意义也不成立。量纲一致是必要条件，但不是模型正确的充分条件。

无量纲化

选特征长度 L、时间 T，把变量写成 x/L、t/T，能减少参数并显示哪些效应主导。不同尺寸系统在相同无量纲参数下可能有相似行为，这比死记具体单位数更有迁移力。

尺度决定近似

研究几秒钟的落体可忽略地球曲率，研究卫星轨道则不能；微小角度下 sin θ≈θ，角度增大时误差迅速上升。每个近似都要写适用范围。

极限情况检查

让参数趋近0、无穷或对称值，结果是否符合常识？阻力为0时模型应退化到无阻力情况。极限检查能发现符号、漏项和边界错误。

数量级

计算前估数量级，结果相差十倍以上时先查单位换算。计算器的精确小数不能挽救错误尺度。

练习：为冷却模型定义变量和单位，做量纲、极限与数量级三类检查，并写出适用范围。