约束优化：拉格朗日乘子与边界

现实最优化常受资源、几何或守恒约束。拉格朗日乘子把“目标函数在约束曲面上不能继续改善”表达为梯度平行：∇f=λ∇g。它给候选点，不自动保证全局最优。

几何意义

约束曲线 g(x,y)=c 的梯度垂直曲线。若目标等值线与约束相切，两者法向平行；否则沿约束仍可找到增加或减少方向。

列方程前检查正则性

约束梯度不能在候选处为零，否则普通乘子条件可能失效。还要检查变量定义域、端点、角点和不等式边界。

多约束

每个独立等式约束引入一个乘子。若约束相互依赖，方程可能冗余。计数未知量与独立条件，避免机械套公式。

乘子的解释

在合适条件下，λ可解释为约束资源略放宽时最优目标的边际变化，即影子价格。符号与尺度依赖约束写法，必须结合单位解释。

比较全部候选

求出驻点后代回目标，连同边界与不可导位置比较。数值优化结果还要从多个初值测试，避免停在局部最优。

若目标函数为凸函数、可行域也为凸集，一阶条件可能进一步保证全局最优；没有这类结构时不能默认。实际问题还需检查单位、整数限制和参数误差，数学候选才会成为可执行方案。

练习：在固定材料面积下优化盒子容积，写约束、乘子方程、边界检查和现实限制。