变量替换与雅可比：面积元素也会变

重积分换坐标不只是把 x、y 换成 r、θ。坐标网格在变换中被拉伸或压缩，面积元素必须乘雅可比行列式的绝对值。极坐标中的 dA=r dr dθ，那个 r 正是局部面积缩放。

从小矩形看缩放

参数平面的小矩形经映射后近似成平行四边形，两条边由偏导向量给出，面积是行列式绝对值乘原面积。行列式符号表示方向翻转，积分面积取绝对值。

先画区域

换元前画原区域与新坐标范围。圆盘用极坐标自然，但偏心或有孔区域会出现分段边界。只改被积函数而沿用旧积分限是常见错误。

一一性

变换在区域内应尽量一一对应；极坐标原点与角度周期会造成重复表示。选择半开角区间并处理奇点，避免重复积分。

选择坐标看对称性

圆对称用极坐标，柱对称用柱坐标，球对称用球坐标。坐标选择是把区域与被积函数结构变简单，不是规定所有二重积分都换元。

单位检查

二维雅可比带来长度平方尺度，三维带体积尺度。最终单位应与所求质量、概率或体积一致。

概率密度换元尤其不能漏雅可比，否则新变量的密度积分不再为1。完成后用一个简单常密度区域核对总面积，是快速自检办法。

练习：推导极坐标雅可比，计算圆盘上径向密度的总量，并检查角度范围是否重复。