1整除、商余与基本性质
闭卷重建整除、商余与基本性质的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
离散数学与证明方法 · 小纸条
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第 1 页 · 正面（题目）
2最大公因数与欧几里得算法
闭卷重建最大公因数与欧几里得算法的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
3贝祖等式与扩展欧几里得
闭卷重建贝祖等式与扩展欧几里得的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
4素数、唯一分解与估算
闭卷重建素数、唯一分解与估算的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
5模运算与同余类
闭卷重建模运算与同余类的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
6中国剩余定理
闭卷重建中国剩余定理的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
7费马、欧拉定理与模幂
闭卷重建费马、欧拉定理与模幂的对象、状态、事件、不变量与一个失败反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心机制：最大公因数与欧几里得算法的核心是：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，余数严格下降保证终止；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为最大公因数与欧几里得算法手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：只给算法输出不等于证明最大且公有。
核心机制：整除、商余与基本性质的核心是：a整除b意味着存在整数倍，带余除法给唯一q、r且0≤r<|a|；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为整除、商余与基本性质手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：0作除数不允许，负数余数约定需明确。
核心机制：素数、唯一分解与估算的核心是：大于1整数唯一分解为素数乘积（忽略次序），支持整除与因子计数；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为素数、唯一分解与估算手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：1不是素数，试除未找到因子要说明搜索上界。
核心机制：贝祖等式与扩展欧几里得的核心是：gcd(a,b)可写ax+by，回代或扩展算法构造系数；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为贝祖等式与扩展欧几里得手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：系数不唯一，模逆存在需gcd=1。
核心机制：中国剩余定理的核心是：模数两两互素时同余组在模乘积下有唯一解类并可构造；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为中国剩余定理手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：模数不互素时需相容条件，不能直接套标准公式。
核心机制：模运算与同余类的核心是：a≡b mod n表示n整除差，可在加乘幂下保持；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为模运算与同余类手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：模除法只有除数可逆时合法，约分需检查gcd。
核心机制：费马、欧拉定理与模幂的核心是：互素条件下a^{φ(n)}≡1，快速幂用二进制指数减少乘法；必须把对象类型、量词、构造或算法不变量和结论同时写清；实验入口：为费马、欧拉定理与模幂手推最小正常例、边界例和反例，再用有限枚举或结构验证器核对中间状态；边界：费马小定理逆命题不成立，底数整除模数时条件失败。